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14 — Mean-reverting McKean–Vlasov

Doc page: mckean_vlasov.rst.

In [1]:

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
from optimizr import _core as opt
plt.rcParams['figure.figsize'] = (8.5, 4.5)
plt.rcParams['figure.dpi'] = 110
plt.rcParams['axes.grid'] = True
plt.rcParams['grid.alpha'] = 0.3

Cellule 1 — Conservation de la moyenne

Théorème (McKean 1966). Pour la dynamique de champ moyen $$dX_t^i = \theta,(\bar X_t - X_t^i),dt + \sigma,dW_t^i, \qquad \bar X_t = \frac{1}{N}\sum_j X_t^j,$$ la moyenne empirique est conservée en espérance, \mathbb{E}[\bar X_t] = \bar X_0.

Équation pivot. \mathbb{E}[\bar X_t] = \bar X_0 pour tout t.

Démonstration. Sommer l'EDS sur i : la dérive interne s'annule (moyenne — individu). \square

Ce que la cellule vérifie. mean_reverting_mckean_vlasov préserve la moyenne et concentre la variance.

In [2]:

N, T, n_steps = 500, 1.0, 200
theta, sigma = 1.5, 0.3
x0 = np.linspace(-1.0, 1.0, N).tolist()  # mean = 0

res = opt.mean_reverting_mckean_vlasov(x0, theta, sigma, n_steps, T, 42)
n_t = res['n_steps']
n_part = res['n_particles']
paths = np.array(res['paths_flat']).reshape(n_t, n_part)
ts = np.array(res['time_grid'])

mean = paths.mean(axis=1)
var = paths.var(axis=1)
print(f"n_steps stocké : {n_t} (snapshots)")
print(f"n_particles    : {n_part}")
print(f"Moyenne initiale : {mean[0]:.3e}")
print(f"Moyenne finale   : {mean[-1]:.3e}")
print(f"Variance init    : {var[0]:.3f}")
print(f"Variance finale  : {var[-1]:.3f}")

fig, axes = plt.subplots(1, 2, figsize=(12, 4))
for i in range(0, n_part, 25):
    axes[0].plot(ts, paths[:, i], alpha=0.4, lw=0.7)
axes[0].plot(ts, mean, 'k-', lw=2, label='moyenne empirique')
axes[0].set_xlabel('t'); axes[0].set_ylabel(r'$X_t^i$')
axes[0].set_title("Trajectoires McKean–Vlasov")
axes[0].legend()
axes[1].plot(ts, var, lw=2, color='C2')
axes[1].set_xlabel('t'); axes[1].set_ylabel(r'Var($X_t$)')
axes[1].set_title("Variance empirique")
fig.tight_layout(); plt.show()

n_steps stocké : 201 (snapshots)
n_particles    : 500
Moyenne initiale : -8.527e-17
Moyenne finale   : -1.148e-02
Variance init    : 0.335
Variance finale  : 0.039

Résultat attendu. |\bar X_t - 0| très petit, variance qui décroît vers une borne stationnaire.

Lecture du graphique. Faisceau qui se contracte autour de la moyenne ; variance qui diminue.

Conclusion. Le solveur reproduit la concentration mean-field.

Cellule 2 — Exemple concret : dynamique d'opinion polarisée

Modèle. Modèle de DeGroot continu : opinions initialement bimodales (deux groupes opposés). La dynamique de champ moyen détruit progressivement la polarisation.

Équation pivot.

dX_t^i = \theta\,(\bar X_t - X_t^i)\,dt + \sigma\,dW_t^i.

Ce que la cellule vérifie. Une distribution initiale bimodale fusionne en distribution unimodale centrée sur \bar X_0.

In [3]:

rng = np.random.default_rng(7)
N = 600
half = N // 2
x0 = np.concatenate([
    rng.normal(-1.0, 0.2, half),
    rng.normal(+1.0, 0.2, N - half),
]).tolist()

res = opt.mean_reverting_mckean_vlasov(x0, theta=2.0, sigma=0.15,
                                        n_steps=400, t_horizon=2.0, seed=11)
n_t = res['n_steps']
n_part = res['n_particles']
paths = np.array(res['paths_flat']).reshape(n_t, n_part)

mid = n_t // 2
print(f"Variance t=0   : {paths[0].var():.3f}")
print(f"Variance t=mid : {paths[mid].var():.3f}")
print(f"Variance t=T   : {paths[-1].var():.3f}")

fig, axes = plt.subplots(1, 3, figsize=(13, 3.8))
for ax, idx, label in zip(axes, [0, mid, -1], ['t=0', 't=T/2', 't=T']):
    ax.hist(paths[idx], bins=40, density=True,
            color='C0', edgecolor='white', alpha=0.85)
    ax.set_title(f"Distribution {label}")
    ax.set_xlabel('opinion'); ax.set_ylabel('densité')
    ax.set_xlim(-2, 2)
fig.suptitle("Convergence d'une population polarisée vers le consensus",
             fontsize=12, y=1.02)
fig.tight_layout(); plt.show()

Variance t=0   : 1.033
Variance t=mid : 0.025
Variance t=T   : 0.007

Résultat attendu. L'histogramme bimodal initial fusionne en un pic unique centré à 0.

Lecture du graphique. Trois snapshots montrent la fusion progressive des deux modes.

Conclusion. L'attraction par la moyenne (mean-field) détruit la polarisation initiale en temps fini — illustration du théorème du consensus dans les dynamiques de DeGroot continues.