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12 — Stochastic control (Pontryagin LQR)

Doc page: stochastic_control.rst.

In [1]:

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
from optimizr import _core as opt
plt.rcParams['figure.figsize'] = (8.5, 4.5)
plt.rcParams['figure.dpi'] = 110
plt.rcParams['axes.grid'] = True
plt.rcParams['grid.alpha'] = 0.3

Cellule 1 — LQR scalaire et équation de Riccati

Théorème (Kalman, LQR). Pour le système \dot x = ax + bu et le coût

J = \int_0^T (q x^2 + r u^2)\,dt + s\,x(T)^2,

le contrôle optimal est u^*(t) = -(b/r)\,P(t)\,x(t) où P(t) satisfait la Riccati rétrograde

-\dot P = 2aP - (b^2/r) P^2 + q,\qquad P(T) = s.

Équation pivot (cas a = b = q = r = 1). Le point fixe stationnaire est P^* = 1 + \sqrt{2} \approx 2.414.

Ce que la cellule vérifie. Le primitive pontryagin_lqr retourne P(0) proche du point fixe pour T = 5.

In [2]:

res = opt.pontryagin_lqr(
    a=1.0, b=1.0, q=1.0, r=1.0, s_terminal=0.5,
    x0=1.0, t_horizon=5.0, n_steps=400,
)
ts = np.array(res['time_grid'])
P = np.array(res['riccati'])
state = np.array(res['state'])
control = np.array(res['control'])

P_star = 1.0 + np.sqrt(2.0)
print(f"P(0) numérique  = {P[0]:.4f}")
print(f"P* analytique   = {P_star:.4f}")
print(f"P(T) (terminal) = {P[-1]:.4f}")
print(f"Coût optimal    = {res['cost']:.4f}")

fig, axes = plt.subplots(1, 3, figsize=(13, 3.8))
axes[0].plot(ts, P, lw=2)
axes[0].axhline(P_star, ls='--', color='gray',
                label=f'P* = {P_star:.3f}')
axes[0].set_xlabel('t'); axes[0].set_ylabel('P(t)')
axes[0].set_title("Riccati"); axes[0].legend()
axes[1].plot(ts, state, lw=2, color='C2')
axes[1].set_xlabel('t'); axes[1].set_ylabel('x(t)')
axes[1].set_title("État optimal")
ts_u = ts[:len(control)]
axes[2].plot(ts_u, control, lw=2, color='C3')
axes[2].set_xlabel('t'); axes[2].set_ylabel('u(t)')
axes[2].set_title("Commande optimale")
fig.tight_layout(); plt.show()

P(0) numérique  = 2.7321
P* analytique   = 2.4142
P(T) (terminal) = 0.5000
Coût optimal    = 2.4701

Résultat attendu. P(0) \approx 1 + \sqrt{2} ; l'état x décroît rapidement vers 0 ; la commande est proportionnelle à -P(t)\,x(t)/r.

Lecture du graphique. P(t) plate sur [0, T-\epsilon] puis descend vers s = 0.5 ; trajectoires d'état/commande lisses.

Conclusion. Le LQR scalaire est validé contre le point fixe analytique.

Cellule 2 — Étude paramétrique : sensibilité au coût terminal

Théorème. Lorsque T \to \infty, P(0) tend vers le point fixe indépendamment de s.

Équation pivot. P^* = (a + \sqrt{a^2 + b^2 q / r}) \cdot r / b^2. Pour a = b = q = r = 1, P^* = 1 + \sqrt{2}.

Ce que la cellule vérifie. Sweep sur plusieurs valeurs de s et de T : P(0) converge vers P^*.

In [3]:

s_values = [0.1, 0.5, 2.0, 5.0]
T_values = [0.5, 1.0, 2.0, 5.0, 10.0]
P_star = 1.0 + np.sqrt(2.0)

fig, ax = plt.subplots()
for s in s_values:
    p0s = []
    for T_ in T_values:
        r = opt.pontryagin_lqr(1.0, 1.0, 1.0, 1.0, s, 1.0, T_, 200)
        p0s.append(r['riccati'][0])
    ax.plot(T_values, p0s, 'o-', lw=2, label=f's = {s}')
    print(f"s = {s:4.1f} : P(0) à T=10 = {p0s[-1]:.4f}")
ax.axhline(P_star, ls='--', color='black',
           label=f'P* = {P_star:.3f}')
ax.set_xlabel('horizon T'); ax.set_ylabel('P(0)')
ax.set_title("Convergence vers le point fixe Riccati")
ax.legend()
fig.tight_layout(); plt.show()

s =  0.1 : P(0) à T=10 = 2.7321
s =  0.5 : P(0) à T=10 = 2.7321
s =  2.0 : P(0) à T=10 = 2.7321
s =  5.0 : P(0) à T=10 = 2.7321

Résultat attendu. Toutes les courbes convergent vers P^* \approx 2.414 pour T grand.

Lecture du graphique. L'effet du terminal s s'estompe quand T augmente.

Conclusion. En horizon long, le coût terminal devient négligeable.

Cellule 3 — Exemple concret : stabilisation d'un pendule inversé

Modèle physique. Pendule inversé linéarisé autour de la verticale \ddot\theta = (g/\ell)\theta + (1/m\ell^2) u. Pour le mode sur-amorti (\dot\theta \equiv 0) on retient l'équation scalaire \dot\theta = a\theta + bu avec a = g/\ell, b = 1/(m\ell^2).

Équation pivot (Riccati). P vérifie -\dot P = 2aP - (b^2/r)P^2 + q.

Ce que la cellule vérifie. Le contrôleur LQR ramène l'angle initial 0.3 rad vers 0.

In [4]:

g, ell, m = 9.81, 1.0, 1.0
a, b = g / ell, 1.0 / (m * ell ** 2)
res = opt.pontryagin_lqr(a, b, q=10.0, r=1.0, s_terminal=1.0,
                          x0=0.3, t_horizon=5.0, n_steps=500)
ts = np.array(res['time_grid'])
theta = np.array(res['state'])
u = np.array(res['control'])

print(f"Angle initial : {theta[0]:.3f} rad ({np.degrees(theta[0]):.1f}°)")
print(f"Angle final   : {theta[-1]:.3e} rad")
print(f"Effort max    : {np.abs(u).max():.3f}")

fig, axes = plt.subplots(1, 2, figsize=(11, 4))
axes[0].plot(ts, theta, lw=2, color='C3', label=r'$\theta(t)$')
axes[0].axhline(0, ls='--', color='gray', alpha=0.6)
axes[0].set_xlabel('t (s)'); axes[0].set_ylabel(r'$\theta$ (rad)')
axes[0].set_title("Stabilisation du pendule inversé")
axes[0].legend()
ts_u = ts[:len(u)]
axes[1].plot(ts_u, u, lw=2, color='C2', label='u(t)')
axes[1].set_xlabel('t (s)'); axes[1].set_ylabel('u (couple)')
axes[1].set_title("Couple appliqué (LQR)")
axes[1].legend()
fig.tight_layout(); plt.show()

Angle initial : 0.300 rad (17.2°)
Angle final   : 5.955e-25 rad
Effort max    : 6.177

Résultat attendu. \theta \to 0 rapidement, effort borné.

Lecture du graphique. Décroissance exponentielle de l'angle ; couple initial fort puis amorti.

Conclusion. Le primitive transforme un système naturellement instable (a = 9.81 > 0) en système stable, illustration directe du contrôle optimal.